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Drafts

@cm3 の草稿置場 / 少々Wikiっぽく使っているので中身は適宜追記修正されます。

せっかく解いたから載せとく

問題ざっと頭に入れて、15分で4問解答までの道筋が見えた、あってるかしらんけど。時間がないからざっとメモるぞ。答えまで出してないのもある

1

問題は C と円がどういう図形を描き出すか。Cが原点を通ることは分かっている。 x = -1, 1 で、C は y = 1, 1 となる。つまり、丁度、|x|<=1 で区切られている交点上にきとる。あとは左側が変曲点との関係で変わるので、1階微分=0を解くと3x2+2x-1=0⇔-2+-sqrt(16)/6=-1,1/3 ってことは、

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みたいな感じや。「1/12*(1--1)4=4/3」+「扇の半端=2pi/4-1」

2

  • はずれ確率p20 = 0.64
  • pk < 0.1

で、最小のkを求める問題。底を10に取ればいいので、20log_10(p)=6log_10(2)-2 から、(30.3010-1)/10<log_10(p)<(30.3011-1)/10

klog_10(p)<-1⇔k>10/(1-3*0.3010)

これは暗算できなくはないけどめんどい。104らしいっす。

3

2n+2=n3+3n2+3n+1=(n+1)3 よってn=7。これは一分で解けるサービス問題?

4

これが解けなかったの。

Oを原点とし、A,B,Cをそれぞれa,b,cとベクトル表示したとする。例えば、Aから対面への垂線が重心を通ることは、1/3(b+c)(a-1/3(b+c))=0⇔(b+c)(3a-(b+c))⇔3ab+3ac-(b+c)2=0⇔3ab+3ac=b2+c2+2bc

それがa,b,c交代で出現するから、式を3つ足して2で割ると 3ab+3bc+3ca=a2+b2+c2+ab+bc+ca⇔a2+b2+c2-2ab-2bc-2ca=0 という関係が得られる。(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2も2(ab+bc+ca)になる。

これと (a-b)2-b2=a2-2ab=0 (行きつきたい先)が似てるからなんとかなると思ったけど、さすがにこれ以上は紙がないと…と思って諦めた。さっき少し考えてみたけどこのままじゃ突破できないぞ…

追記: →駿台の回答

なるほど。AH⊥OHではなく、AH⊥OBとAH⊥OCの方を使うべきだった。これはどうやって思いつくかというと、導きたいものがシンプルだから、条件もシンプルな方を採用したい、あたりか。これ思いついたらあとはソラで行けるな。

これだけちゃんと解答にしておこう。

Oを原点とし、他頂点A,B,Cの位置ベクトルをa,b,cとする。Aから対面への垂線とb, Cから対面への垂線とb が垂直なので、 b(a-1/3(b+c))=0, b(c-1/3(b+a))=0 ⇔ b2 = 3ab-bc = 3bc-ab。これより、ab=bc であり、b2=2ab=2bc。A,B,Cの条件は相同なので、同様にして、2ab=2bc=2ca=a2=b2=c2。ところで、(a-b)2-b2=a2-2ab=0 なので、a2=(a-b)2。同様にして全辺の2乗が等しいことが分かるので、題の四面体は正四面体である。(Q.E.D.

5

α3+aα2+bα+c=0よりα3=-(aα2+bα+c)で次数が2次以下に必ず落とせることを利用して多項式の割り算でってはじめ思ったけど、それすごく複雑になりそうなので、α、α3、α9…がどのような関係になるかを考えて、つねに題意が成り立つなら、すべて複素数の絶対値は一緒。そうじゃないとずっと伸びていって解が無限大にできちゃう。そんで、3次関数は必ず実数解を一つ持つから、残りの2つの複素数は共役。 f:id:cm3ak:20160225225656p:plain f:id:cm3ak:20160226134039p:plain


総評として、思いつかんとあかんのが多いな。